.. _expression: #### Term #### .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung Eine Termumformung besteht aus einem oder mehrerer Terme. Ab dem zweiten Term einer Termumformung wird *automatisch* ein Korrektursymbol gesetzt (siehe Term :ref:`correct_expression`). Ein Term kann (mehrfach) kommentiert werden (siehe Term :ref:`comment_expression`). .. _create_expression: ********* eintippen ********* .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung Der neue Term wird in der Eingabezeile der Termumformung eingetippt. Die nachfolgenden Abschnitte zeigen wie was eingegeben werden muss. Nach dem Eintippen des Terms ``Senden`` klicken oder die Eingabetaste drücken. Erst dann wird der Term in die Termumformung übernommen. .. _expression_integers: Ganze Zahlen ============ .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`-2` - -2 * - :math:`-(-2)` - \- (-2) * - :math:`-(+2)` - \- (+2) * - :math:`--2` - \- -2 **Bemerkungen** * Negative Zahlen müssen nicht umklammert werden. .. _expression_rationals: Rationale Zahlen ================ .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\frac{1}{2}` - 1/2 * - :math:`-\frac{1}{2}` - -1/2 * - :math:`\frac{-1}{2}` - (-1)/2 * - :math:`\frac{1}{2+3}` - 1/(2+3) * - :math:`-1.2` - -1.2 * - :math:`0.\overline{35}` - 0.p35 * - :math:`1.2\overline{9}` - 1.2p9 **Bemerkungen** * matraxi rechnet mit vollständiger Genauigkeit. .. _expression_irrationals: Irrationale Zahlen ================== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\sqrt{2}` - w(2) * - :math:`\mathrm{e}` - &e * - :math:`\mathbb{\pi}` - &pi **Bemerkungen** * matraxi rechnet mit vollständiger Genauigkeit. .. _expression_variables: Variablen ========= .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`x` - x * - :math:`A` - A * - :math:`xy` - xy **Bemerkungen** * x und X sind zwei verschiedene Variablennamen. * matraxi kennt nur ein Buchstaben lange Variablennamen. D.h. eine Eingabe wie xy wird immer als das Produkt von x mit y interpretiert, siehe auch :ref:`expression_multiplication`. * Variablennamen wie :math:`a1` sind nicht zugelassen. .. _expression_addition_subtraction: Addition / Subtraktion ====================== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`0+1` - 0+1 * - :math:`x-1` - x-1 .. _expression_multiplication: Multiplikation ============== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe - Interpretation * - :math:`5\cdot 7` - 5\*7 - * - :math:`2\cdot x` - 2\*x - * - :math:`2x` - 2x - :math:`2\cdot x` * - :math:`xy` - xy - :math:`x\cdot y` * - :math:`x(y+z)` - x(y+z) - :math:`x\cdot (y+z)` * - :math:`2\sqrt{3}` - 2w(3) - :math:`2\cdot\sqrt{3}` * - :math:`2w\cdot(x-1)` - 2w*(x-1) - :math:`2\cdot w\cdot(x-1)` **Bemerkungen** * matraxi kennt nur ein Buchstaben lange Variablennamen. D.h. eine Eingabe wie xy wird immer als das Produkt von x mit y interpretiert. * Die Eingabe w(...) schreibt den Term in der Klammer unter eine Wurzel (siehe :ref:`expression_roots`). Soll die Variable w mit einem Klammerausdruck multipliziert werden, muss das Multiplikationszeichen zwingend geschrieben werden, also w*(...). .. _expression_division: Division ======== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`(x-y):2` - (x-y):2 * - :math:`\frac{1}{2}` - 1/2 * - :math:`\frac{a+b}{a-b}` - (a+b)/(a-b) * - :math:`\frac{xy}{2}` - (xy)/2 **Bemerkungen** * Im letzten Beispiel wird die Eingabe xy als das Variablenprodukt :math:`x\cdot y` interpretiert (siehe :ref:`expression_multiplication`). .. _expression_parenthesis: Klammern ======== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`2(a+b-[2a-b+\{7a+b\}])` - 2\*(a+b-[2a-b+{7a+b}]) .. _expression_absoulte: Betrag ====== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\left|-7\right|` - abs(-7) * - :math:`\left|x\right|` - abs(x) .. _expression_powers: Potenzen ======== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`2^3` - 2^3 * - :math:`2^{1+2}` - 2^(1+2) * - :math:`x^\frac{1}{2}` - x^(1/2) **Bemerkungen** * Unter Umständen müssen Variablenwerte eingeschränkt werden (siehe :ref:`expression_assumptions`). .. _expression_roots: Wurzeln ======= .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\sqrt{x}` - w(x) * - :math:`\sqrt[3]{2}` - w3(2) **Bemerkungen** * Unter Umständen müssen Variablenwerte eingeschränkt werden (siehe :ref:`expression_assumptions`). .. _expression_logarithms: Logarithmen =========== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\log(x)` - log(x) * - :math:`\log_2(8)` - log2(8) * - :math:`\ln\left(\mathbb{e}^3\right)` - ln(&e^3) **Bemerkungen** * log ist die Abkürzung für den Logarithmus zur Basis 10. * ln ist die Abkürzung für den Logarithmus zur Basis e. * Unter Umständen müssen Variablenwerte eingeschränkt werden (siehe :ref:`expression_assumptions`). .. _gcdlcm: ggT / kgV ========= .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\textrm{ggT}\left(8,12\right)` - ggT(8,12) * - :math:`\textrm{ggT}\left(2^3,2^2\cdot 3,2^4\right)` - ggT(2^3,2^2*3,2^4) * - :math:`\textrm{kgV}\left(8,12\right)\cdot\textrm{ggT}\left(8,12\right)` - kgV(8,12)*ggT(8,12) .. _expression_trigonometric_functions: Trigonometrische Funktionen =========================== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\sin(x)` - sin(x) * - :math:`\cos(x+2\mathbb{\pi})` - cos(x+2&pi) * - :math:`\tan(0)` - tan(0) * - :math:`\arcsin(x)` - arcsin(x) * - :math:`\arccos(1)` - arccos(1) * - :math:`\arctan(x)` - arctan(x) **Bemerkungen** * Das Funktionsargument bei Sinus, Cosinus und Tangens wird jeweils in der Einheit RAD interpretiert. * Unter Umständen müssen Variablenwerte eingeschränkt werden (siehe :ref:`expression_assumptions`). .. _expression_derivative: Ableitung ========= .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`(3x)'` - (3x)' * - :math:`(3z)'` - (3z)' * - :math:`\left(3z^2\right)''` - (3z^2)'' * - :math:`\frac{d}{dx}(3x)` - diff(3x,x) * - :math:`\frac{d}{dx}(3x+a)` - diff(3x+a,x) * - :math:`\frac{d^2}{d^2z}\left(3z^2+a\right)` - diff2(3z^2+a,z) * - :math:`\left. \left(x^{2}\right)'\right|_{x=3}` - (x^2)'\|x=3 **Bemerkungen** * Enthält der Term nur eine einzige Variable, so kann der Strichoperator (auch Mehrfach) als Ableitungssymbol verwendet werden. Enthält der Term mehrere Variablen muss diff(...) gebraucht werden. * Das letzte Beispiel verwendet :ref:`expression_evaluation`. .. _expression_integral: Integral ======== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\int ax^{2}\;dx` - int(ax^2,x) * - :math:`a\cdot \int x^{2}\;dx` - a*int(x^2,x) .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`\int_{1}^{2}3x\;dx` - int(3x,x,1,2) * - :math:`\left. \frac{3}{2}x^{2}\right|_{x=1,2}` - 3/2x^2|x=1,2 **Bemerkungen** * Das letzte Beispiel verwendet :ref:`expression_evaluation`. .. _expression_factorials: Fakultät ======== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`3!` - 3! * - :math:`(n+1)!` - (n+1)! Die Fakultät ist nur für Zahlen aus :math:`\mathbb{N}_0` definiert. Es gilt * :math:`0! = 1` * :math:`-3! = -(3!)` * :math:`1/2! = 1/(2!)` * :math:`2!^3 = (2!)^3` * :math:`2^3! = 2^{3!}` **Bemerkungen** * Unter Umständen müssen Variablenwerte eingeschränkt werden (siehe :ref:`expression_assumptions`). .. _expression_evaluation: Auswertung an Stellen / Substitutionen ====================================== .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe - Interpretation * - :math:`\left.2x\right|_{x=3}` - 2x|x=3 - :math:`2\cdot3` * - :math:`\left.2xy\right|_{x=3,y=4}` - 2xy|x=3,y=4 - :math:`2\cdot3\cdot4` * - :math:`x+\left(\left.2x\right|_{x=3}\right)+x` - x+(2x|x=3)+x - :math:`x+2\cdot3+x` * - :math:`\left(\left.x+2x\right|_{x=3}\right)+x` - (x+2x|x=3)+x - :math:`3+2\cdot3+x` * - :math:`\left.x+2x\right|_{x=3+x}` - x+2x|x=3+x - :math:`\left(3+x\right)+2\left(3+x\right)` * - :math:`\left.2x\right|_{x=3,4}` - 2x|x=3,4 - :math:`2\cdot4-2\cdot3` **Bemerkungen** * Das letzte Beispiel ist eine spezielle Auswertungsform und ist nützlich beim :ref:`expression_integral`. Alternativ kann auch die subst-Funktion verwendet werden, also .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe - Interpretation * - :math:`\left[2x\right]_{x=3}` - subst(2x,x=3) - :math:`2\cdot3` * - :math:`\left[2xy\right]_{x=3,y=4}` - subst(2xy,x=3,y=4) - :math:`2\cdot3\cdot4` * - :math:`x+\left[2x\right]_{x=3}+x` - x+subst(2x,x=3)+x - :math:`x+2\cdot3+x` * - :math:`\left[x+2x\right]_{x=3}+x` - subst(x+2x,x=3)+x - :math:`3+2\cdot3+x` * - :math:`\left[x+2x\right]_{x=3+x}` - subst(x+2x,x=3+x) - :math:`\left(3+x\right)+2\left(3+x\right)` * - :math:`\left[2x\right]_{x=4}-\left[2x\right]_{x=3}` - subst(2x,x=4)-subst(2x,x=3) - :math:`2\cdot4-2\cdot3` **Bemerkungen** * Fürs letzte Beispiel stellt die subst-Funktion keine spezielle Auswertungsform wie oben zur Verfügung. .. _expression_assumptions: *************************** Variablenwerte einschränken *************************** .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung Im Feld ``Einschränkungen`` in der Eingabezeile lässt sich der Definitionsbereich eines Terms einschränken. Insbesondere für den Ausgangsterm muss der Definitionsbereich, sofern der Term nicht über alle reellen Zahlen definiert ist und es sich nicht um eine singuläre Definitionslücke handelt, manuell gesetzt werden. Einschränkungen der folgenden Art sind möglich: .. list-table:: :header-rows: 1 * - Ausgabe - Eingabe * - :math:`x>0` - x>0 * - :math:`x\geq 1` - x>=1 * - :math:`a<0,b<0` - a<0,b<0 * - :math:`n \in\mathbb{N}` - n Element N **Beispiele** * :math:`\sqrt{x}` wird ohne eine Einschränkung wie :math:`x\geq 0` nicht als Ausgangsterm akzeptiert. * :math:`\frac{1}{x}` wird auch ohne Einschränkungen als Ausgangsterm akzeptiert. * Der Ausgangsterm :math:`\sqrt{x^2}` braucht keine Einschränkungen. Als Folgeterm würde :math:`x` nur unter einer Einschränkung wie :math:`x\geq 0` als richtig korrigiert (siehe Term :ref:`correct_expression`). **Bemerkungen** * matraxi kennt die Zahlenmengen N0, N, Zneg, Z. * Ohne einschränkendes Mengensymbol ist eine Variable reellwertig. * Im Ausgangsterm gesetzte Einschränkungen gelten während der gesamten Termumformung. * Einschränkungen von korrekten Umformungen bleiben für die nächsten Umformungen erhalten (siehe auch Term :ref:`correct_expression`). .. _copy_expression: ****************************** in die Eingabezeile übernehmen ****************************** .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung Ein Klick auf einen bereits in der Termumformung vorhandenen Term kopiert diesen in die Eingabezeile. Anstatt jedes Mal den gesamten neuen Term neu einzutippen kann man so einen alten Term zurückholen und braucht nur die Änderungen vorzunehmen. .. _correct_expression: *********** korrigieren *********** .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung Ab dem Absenden des zweiten Terms korrigiert matraxi jeden neuen Term *automatisch* auf Äquivalenz zum Ausgangsterm. :fa:`check text-success` zeigt eine korrekte Umformung, :fa:`circle-o text-danger` eine falsche Umformung an. .. list-table:: :header-rows: 1 * - - Korrektur - Termeingabe - Einschränkungseingabe * - :math:`-2^4` - - -2^4 - * - :math:`16` - :fa:`circle-o text-danger` - 16 - * - :math:`-16` - :fa:`check text-success` - -16 - Sämtliche Einschränkungen von korrekten Umformungen werden fortlaufend vereinigt (siehe :ref:`expression_assumptions`). .. list-table:: :header-rows: 1 * - - Korrektur - Termeingabe - Einschränkungseingabe * - :math:`\sqrt{x^2y^2}` - - w(x^2y^2) - * - :math:`xy` - :fa:`circle-o text-danger` - xy - * - :math:`\left|xy\right|` - :fa:`check text-success` - abs(xy) - * - :math:`x\cdot\left|y\right|\quad(x\ge0)` - :fa:`check text-success` - x*abs(y) - x>=0 * - :math:`xy\quad(y<0\;\textrm{und}\;x\ge0)` - :fa:`circle-o text-danger` - xy - y<0 * - :math:`xy\quad(x\ge0)` - :fa:`circle-o text-danger` - xy - * - :math:`xy\quad(y\ge0\;\textrm{und}\;x\ge0)` - :fa:`check text-success` - xy - y>=0 **Bemerkungen** * Die Umformung mit der Einschränkung :math:`x\ge0` ist korrekt. Die Einschränkung bleibt deshalb für alle folgenden Umformungen automatisch gültig. * Die Umformung mit der Einschränkung :math:`y<0` isf falsch. Die Einschränkung :math:`y<0` ist für die folgenden Umformungen nicht mehr automatisch gesetzt. .. _comment_expression: ************ kommentieren ************ .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung :raw-html:`→` Term Jeder Term lässt sich nach einem Klick auf :fa:`comment` (mehrfach) kommentieren (siehe :ref:`comment`). .. _remove_expression: ******* löschen ******* .. container:: path ``Eigene Aufgabenblätter`` / ``Erhaltene Aufgabenblätter`` :raw-html:`→` Aufgabenblatt :ref:`open_sheet` :raw-html:`→` Termumformung :raw-html:`→` Term Jeweils der neuste Term einer Termumformung lässt sich mit :fa:`trash` (bei vorhandenem Recht) löschen. Dabei werden auch sämtliche Kommentare zu diesem Term gelöscht.